約数のコツ ■コラム（約数・倍数を遊び感覚で楽しむ）

これまで長々と約数や倍数のコツをご紹介してきました。
今回は自分が子供の頃に編み出し、子供に教えてあげた約数・倍数を遊び感覚で
楽しむ方法をご紹介します。

我が家ではこのゲームを始めると二人で電卓の取り合いになります。

■コラム（約数・倍数を遊び感覚で楽しむ）

○用意するもの
　電卓

○手順
　１．電卓に適当に整数を入力
　２．１．の数字を2,3,5,7,11ぐらいまでの素数で割る
　３．２．で割れなくなるまで繰り返す
　４．割り切れなくなったら商に＋1する
　５．また２，３を繰り返す
　６．商が1になったらゴール！

○例
　（スタート）765,468　（2で割る→）382,734（2で割る→）191,367（3で割る→）63,789
　（3で割る→）21,263（11で割る→）1,933（素数で割るのが難しくなってきたので1を足す→）1934
　（2で割る→）967（また1を足す→）968（2で割る→）484（2で割る→）242（2で割る→）121
　（11で割る→）11（11で割る→）1（ゴール！！）

電卓一つがゲームになり、約数・倍数を遊び感覚で身につけていくことができます。
2,3,5で割れるかは「約数のコツ」でご紹介してきた方法で判断してみてください。
7,11で割り切れるかをご紹介してきた方法で判断をするのは実際には難しいので、
暗算してみることになり、暗算力のアップにもつながります。

2や3で続けて割れたり、7,11など大きな数字で割れると興奮します！
数字が小さくなって来たら13,17,19,23などで割るのにもチャレンジしてみてください。
13以上の素数で割り切れたときはしびれます！！

約数のコツ ■その９（約数の求め方 5,10の倍数 他）

さて、これまで
　2,3,4,7,8,9,11,13
の倍数をご紹介してきました。

7,13などでかなり難しいものにチャレンジしてきたので、今回は
上記で歯抜けになっている数字 5,10他についてです。

■その９（約数の求め方 5,10の倍数 他）

5,10の倍数なんて基本でしょと思いますが、本科教室にあった掛け算の
結果に0が何個つくかの問題を、皆さんのお子さんは無事クリアできま
したでしょうか？
「10の倍数とは」をきっちり理解していれば解ける問題ですが、うちの
子にはナカナカ難しかったようです。

ということを踏まえつつ解説です。

＜5の倍数＞
これは頭の中で「下一桁が 0 または 5」であれば5の倍数と分かっていますよね。

一応証明します。
おなじみの3桁の数字を例にすると
　（100×○＋10×△＋□）÷5
　＝（100×○＋10×△＋□）÷5　　※100×○、10×△は5で割り切れる
となり、元の数を5で割った余りは
　□÷5の余り
となり、「下一桁が 0 または 5」であれば5の倍数となります。

＜10の倍数＞
これも「下一桁が 0」であれば10の倍数と分かっていますよね。

簡単に証明します。
　（100×○＋10×△＋□）÷10
　＝（100×○＋10×△＋□）÷10　　※100×○、10×△は10で割り切れる
となり、元の数を10で割った余りは
　□÷10の余り
となり、「下一桁が 0」であれば10の倍数となります。

さて、もう少し別の考え方をすると、
「10の倍数」というのは「2の倍数」でもあり「5の倍数」でもある数字ですよね。
と考えると、
　「2の倍数」→「下一桁が偶数」
　　かつ
　「5の倍数」→「下一桁が0 または 5」
なので、「下一桁が0」であれば10の倍数となります。
結果は先ほどの証明と同じになりますね。

「10の倍数」というのは「2の倍数」でもあり「5の倍数」でもあるという
理解の上で、本科教室にあった0が何個つくかを考えると、掛け算の中に
　・「2の倍数」「5の倍数」が何個でてくるか
　・「2の倍数」「5の倍数」のペアが何個作れるか
という問題に読みかえられます。
子供にはこの読みかえも難しいので、5で何回割れるか？という導きが
(1)でされています。
※問題をそのまま抜粋はまずいと思われるので、問題を見ていない方には
　意味の分からない内容です。スミマセン。


同じように、13までの数字でこれまでご紹介しなかった6や12については
「6の倍数」→「2の倍数」かつ「3の倍数」
　　　　　 →「下一桁が偶数」かつ「各桁の合計が3で割り切れる」
「12の倍数」→「4の倍数」かつ「3の倍数」
　　　　　 →「下二桁が4で割り切れる」かつ「各桁の合計が3で割り切れる」
となります。

約数のコツ ■その８（約数の求め方 13の倍数）

こりずに行きます。
今回も約数。13の倍数の見分け方です。

■その８（約数の見つけ方 13の倍数）

＜13の倍数＞
先に答えを書くと
　「3桁ずつに区切って、”奇数番目の数の合計”と”偶数番目の数の合計”
　　の差が13の倍数であれば」
13の倍数となります。
実は前回の7の倍数と一緒の考え方になります。

証明も同じく12桁の数字を例に考えます。
3桁ごとに区切って書くと
　☆,○,△,□　　※☆、○、△、□はそれぞれ3桁の数字
としましょう。
12桁の数字を式で表すと
　☆×1000000000＋○×1000000＋△×1000＋□
となります。

では7で割ってみましょう。
　（☆×1000000000＋○×1000000＋△×1000＋□）÷13
　＝（☆×1000000001−☆＋○×999999＋○＋△×1001−△＋□）÷13
　　　　※1000000001、999999、1001はいずれも13も倍数
となり、元の数を13で割った余りは
　（−☆＋○−△＋□）÷13の余り
となります。

なんと前回の記事のほぼコピペで証明できてしまいました。
実は1000000001、999999、1001はいずれも1001の倍数で、1001＝7×11×13
なので、7に当てはまった法則は13でも利用できるというわけです。
当然、11でも同じ法則が成り立ちます。

＜例＞
　278,074,966,845
　→278＋966＝1244
　→ 74＋845＝ 919
　→差は1244−919＝325　で13の倍数。（13で割ると25）
　→よって278,074,966,845は13の倍数です。

約数のコツ ■その７（約数の求め方 7の倍数）

今回も約数。7の倍数の見分け方です。
かなり難しいので覚悟ください。

■その７（約数の見つけ方 7の倍数）

＜7の倍数＞
先に答えを書くと
　「3桁ずつに区切って、”奇数番目の数の合計”と”偶数番目の数の合計”
　　の差が7の倍数であれば」
7の倍数となります。
もはや普通に7で割ったほうが速いわ・・・という世界です。

さて、証明です。
12桁の数字を例に考えます。3桁ごとに区切って書くと
　☆,○,△,□　　※☆、○、△、□はそれぞれ3桁の数字
としましょう。
12桁の数字を式で表すと
　☆×1000000000＋○×1000000＋△×1000＋□
となります。

では7で割ってみましょう。
　（☆×1000000000＋○×1000000＋△×1000＋□）÷7
　＝（☆×1000000001−☆＋○×999999＋○＋△×1001−△＋□）÷7
　　　　※1000000001、999999、1001はいずれも7も倍数
となり、元の数を7で割った余りは
　（−☆＋○−△＋□）÷7の余り
となります。

どうでしょう？ご理解いただけましたでしょうか。

＜例＞
　250,015,437,392
　→250＋437＝687
　→ 15＋392＝407
　→差は687−407＝280　で7の倍数。
　→よって、250,015,437,392は7の倍数です。

約数のコツ ■その６（約数の求め方 11の倍数）

今回も約数。11の倍数の見分け方です。
約数シリーズが長くなってきたので、暗算シリーズはもうしばらくおあずけです。

■その６（約数の見つけ方 11の倍数）

＜11の倍数＞
割る数も大きくなってきたので、4ケタの数字を例にします。

1000の位を☆、100の位を○、10の位を△、1の位を□とすると4ケタの数字は
　1000×☆＋100×○＋10×△＋□
と表せます。

これを11で割ると
　（1000×☆＋100×○＋10×△＋□）÷11
　＝（1001×☆−☆＋99×○＋○＋11×△−△＋□）÷11　　※1001×☆、99×○、11×△は11で割り切れる
となり、元の数を11で割った余りは
　（−☆＋○−△＋□）÷11の余り
となります。

つまり「”奇数桁の各位の和”と”偶数桁の各位の和”の差が11の倍数
（0を含む）であれば」11の倍数となります。

＜例　・・・　差が0＞
　2486　→　2＋8と4＋6の差が0 なので、2486は11の倍数です。

＜例　・・・　差が11＞
　2937　→　2＋3と9＋7の差が11 なので、2937は11の倍数です。

11で実際に割ってみるのとどちらが速いんでしょうね。
とても楽しい法則なので、是非試してみて下さい。

次回は難関の7の倍数をご紹介します。