約数のコツ ■その５（約数の求め方 3,9の倍数）

今回も約数の見つけ方です。
前回の2,4,8の倍数に続いて、3,9の倍数の見分け方です。

■その５（約数の見つけ方 3,9の倍数）

＜3の倍数＞
前回に引き続き、小学生でも分かり易いよう3ケタの数字を例にします。

100の位を○、10の位を△、1の位を□とすると3ケタの数字は
　100×○＋10×△＋□
と表せます。

これを3で割ると
　（100×○＋10×△＋□）÷3
　＝（99×○＋○＋9×△＋△＋□）÷3　　※99×○、9×△は3で割り切れる
となり、元の数を3で割った余りは
　（○＋△＋□）÷3の余り
となります。

つまり「各位の値をすべて足したものが3の倍数であれば」3の倍数となります。

＜例＞
　2481　→　2＋4＋8＋1＝15　と3の倍数なので、2481は3の倍数です。

イチイチ足していくよりは、
　2　→　3で割って余り2
　4　→　3で割って余り1　→上の余り2と合わせて、余り0
　8　→　3で割って余り2
　1　→　3で割って余り1　→上の余り2と合わせて、余り0
と計算過程でも3で割っていくとより速く計算でき（頭の中には0,1,2の
3つだけ）、暗算も可能です。

→暗算のコツ　その５（基準値からの差）に近い考え方でしょうか。


＜9の倍数＞
続いて9の倍数です。考え方は3の倍数と全く同じ。
3ケタの数字を例にすると
　（100×○＋10×△＋□）÷9
　＝（99×○＋○＋9×△＋△＋□）÷9　　※99×○、9×△は9で割り切れる
となり、元の数を9で割った余りは
　（○＋△＋□）÷9の余り
となります。

つまり「各位の値をすべて足したものが9の倍数であれば」9の倍数となります。

＜例＞
　2484　→　2＋4＋8＋4＝18　と9の倍数なので、2484は9の倍数です。


3の倍数は本科教室に問題が出ていましたね。
応用として9の倍数にトライしてはいかがでしょう？

次回は11の倍数をご紹介します。

約数のコツ ■その４（約数の求め方 2,4,8の倍数）

今回も約数のコツです。

■その４（約数の見つけ方 2,4,8の倍数）

約数を求める際、まずは1ケタの素数で割り算をしていきますよね。
素数で割れるかどうかをなるべく早く見分けるコツをご紹介します。

＜2の倍数＞
特にご説明しなくても、下一桁が偶数であれば2の倍数というのは
ほとんどの皆さんがご存知かと思います。

とはいえ、一応証明してみます。
小学生でも分かり易いよう3ケタの数字を例にします。

100の位を○、10の位を△、1の位を□とすると3ケタの数字は
　100×○＋10×△＋□
と表せます。

これを2で割ると
　（100×○＋10×△＋□）÷2
　＝（100×○＋10×△）÷2＋□÷2　　※100×○、10×△は2で割り切れる
となり、元の数を2で割った余りは
　□÷2の余り
となります。

つまり「下一桁が偶数であれば」2の倍数となります。

＜4の倍数＞
2の倍数と同じく
　100×○＋10×△＋□
で考えてみましょう。

これを4で割ると
　（100×○＋10×△＋□）÷4
　＝100×○÷4＋（10×△＋□）÷4　※100×○は4で割り切れる。100は4の倍数
となり、元の数を4で割った余りは
　（10×△＋□）÷4の余り
となります。

つまり「下二桁が4の倍数であれば」4の倍数となります。

例． 968118302812　は4の倍数です。　←下二桁の12が4の倍数

＜8の倍数＞
こちらは4ケタの数字で考えます。
　1000×☆＋100×○＋10×△＋□

これを8で割ると
　（1000×☆＋100×○＋10×△＋□）÷8
　＝1000×☆÷8＋（100×○＋10×△＋□）÷8　　※1000×☆は8で割り切れる。1000は8の倍数
となり、元の数を8で割った余りは
　（100×○＋10×△＋□）÷8の余り
となります。

つまり「下三桁が8の倍数であれば」8の倍数となります。

例． 968118302816　は8の倍数です。　←下三桁の816が8の倍数

次回は3の倍数へ。

約数のコツ ■その３（どこまでやるの）

今回も暗算を離れて約数のコツです。

■その３（どこまでやるの）

＜例題＞
　360の約数を挙げよ

約数のコツ　■その２（ペアで考える）でご紹介したとおり、ペアで考えていきます。
　1,360
　2,180
　3,120
　4,90
　5,72
　6,60
　8,45
　9,40
　10,36
　12,30
　15,24
　18,20
　20,18　　←反対のペアが既出。

　つまり約数を洗い出すとき、ペアで考えていけばその数の平方根（※）まで
　洗い出せば終了とできます。
　以降のペアは既出のペアを逆順にしたものになります。

※平方根とは、ある数○があって、△を平方（△×△）すると○になる場合
　△は○の平方根といいます。

　ちなみに例題の360の平方根は18.9736・・・と無限小数になりますが、
　難しい事は考えず20ぐらい（400の平方根）まで洗い出せばいいと大まかに
　目安を立てればOKです。
　360の約数と言われると遠い道のりに気が遠くなりそうになりますが、
　20まででよいと考えれば随分気楽になりますね。

約数のコツ ■その２（ペアで考える）

今回も暗算を離れて約数のコツです。

■その２（ペアで考える）

＜例題＞
　80の約数を挙げよ

どんな順番で挙げていきますか？

1,2,4,5,8,10・・・・　でしょうか。

約数はある整数を割り切れる数字です。
式で表すと、
　80＝約数×整数
ですね。とすると、整数の方も約数であることが分かります。
つまり約数には必ずペアとなる約数が存在するということです。

ならば80の約数は
　1,80　2,40　4,20　5,16　8,10
と考えた方が速く確実です。

もちろん81の約数で、9のペアは9。ペアの数字がないことはあります。

先日、子供に教えてあげようと思い、約数どうやって求めてる？と聞いたら
ペアで考えてるよーとあっさり言われてしまいました。
思っていたより考えている！？拍子抜けー です・・・

約数のコツ ■その１（引いてみよう）

今回は暗算を離れて約数のコツです。

■その１（引いてみよう）

＜例題＞
　92と115の最大公約数を求めよ。

一目で最大公約数は23だと分かる方もいらっしゃると思います。
これまでの経験で92や115が23の倍数だと”知っている”んですよね。

ウチの子供はすぐに分からなかったようで、23でしょと伝えたところ
素数を全部覚えるのなんて不可能！っと言っていました。

でもこの問題、”知っている”必要も”素数を覚える”必要もありません。

115−92＝23
が最大公約数になります。

最大公約数とは「2 つ以上の自然数について、そのいずれの約数にもなることが
できる（自然数を割り切れる）最大の整数」です。

例題を最大公約数の定義にあてはめると、最大公約数を整数倍したら92、115に
なるということなので、式で表すと
　92＝最大公約数×○
115＝最大公約数×△
　※○、△は整数
となります。二つの式を引き算すると・・・
115−92＝23＝最大公約数×△−最大公約数×○＝最大公約数×（△−○）
となり、23は最大公約数の整数倍と分かります。

23は素数なので（23が素数であることを覚えていなくても、特定された数字が
素数かどうかは分かりますよね）、最大公約数は23のはず。
試しに割り算してみると、確かに割り切れます。
※ここで割り切れないなら問題がおかしいです。


更にもう一問。
＜例題＞
　69と115の最大公約数を求めよ。

先ほどのやり方だと、115-69＝46が最大公約数の整数倍です。
46は素数ではないので、約数を考えると1,2,23,46です。

ここまでくれば最大公約数＝23を求めるのに時間はかからないと思います。


引いた数の約数も検討つかないような場合はどうしようもありませんが、
この方法で糸口が掴める可能性は高いです。